<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
          Av. Otaviano Alves de Lima, 
          4.400 -- 5 andar e andar 
          intermedirio Ala A Freguesia do  -- CEP 02909-900 -- 
          So Paulo -- SP
          Tel.: 0800-115152 
          Fax: (11) 3990-1616
          ~,www.atica.com.br~,
          ~,editora@atica.com.br~,
<P>           
                                I
Sumrio

Quarta Parte

Captulo 6

Equaes e sistemas de 
  equaes :::::::::::::::::: 377
  
1. Equaes do 1 grau com 
  uma incgnita ::::::::::::: 380  
Equaes literais do 1 
  grau com uma incgnita :::: 389 

2. Equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 392 
Como determinar solues de 
  equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 395
Grfico das solues de uma 
  equao do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 398 
<p>
3. Sistemas de duas 
  equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 402  
Solues de um sistema de 
  duas equaes do 1 grau 
  com duas incgnitas ::::::: 405 
Soluo de um sistema usando 
  clculo mental :::::::::::: 408
Mtodos de resoluo de um 
  sistema de duas equaes do 
  1 grau com duas 
  incgnitas :::::::::::::::: 410
Mtodo da substituio ::::: 411  
Mtodo da adio ::::::::::: 420 
Classificao de um sistema 
  de duas equaes do 1 
  grau com duas incgnitas, 
  quanto ao nmero de 
  solues :::::::::::::::::: 430 

4. Resoluo de problemas 
  envolvendo sistemas de 
  equaes :::::::::::::::::: 441 

Reviso cumulativa ::::::::: 447  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 451

<128>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+377>
Captulo 6 

<R+>
Equaes e sistemas de equaes 

Muitas situaes-problema podem ser resolvidas por meio de equaes do 1 grau e sistemas. 
<R->

  Examine as seguintes situaes. Voc vai resolv-las ao longo do captulo. 

<R+>
1) Na classe de Fbio, #,c dos alunos pratica esportes, #,f dos alunos cuida das festividades e os 15 alunos restantes cuidam da biblioteca. Qual  o total de alunos dessa classe? 
<R->
  Considerando x o total de alunos, podemos traduzir essa situao por meio de uma equao: x~3+x~6+15=x 
<p> 
<R+>
<F->
2) Um retngulo tem largura conhecida de a cm. Qual deve ser o comprimento desse retngulo para que o seu permetro seja de 20 cm? 

          x
  !:::::::::::::::::
  l                 _
  l                 _ 
a l                 _ a
  l                 _
  h:::::::::::::::::j
          x

Indicamos: 
 medida do comprimento :> x; 
 permetro :> 2x+2~a. 
Equao: 2x+2a=20 
 
3) No caixa eletrnico, Vera sacou R$850,00 em notas de R$10,00 e de R$50,00. Quantas notas de cada valor ela sacou, se o saque continha 21 notas? 
<p>
Indicamos: 
 nmero de notas de R$10,00 :> x; 
 nmero de notas de R$50,00 :> y. 
Da, montamos um sistema de equaes: x+y=21 e 10x+50y=850. 
<F+>
<R->

  Vamos analisar cada uma das situaes anteriores.
  Na 1 situao temos uma equao do 1 grau com uma incgnita: x~3+x~6+15=x.
  Na 2 situao, alm da incgnita x aparece tambm a letra a, que representa um nmero real conhecido. Nesse caso, a equao 2x+2a=20  chamada equao literal do 1 grau na incgnita x.
  Na 3 situao temos um sistema de equao do 1 grau com duas incgnitas: x+y=21 e 10x+50y=850.

<p>
<R+>
Neste captulo voc vai aprofundar seus conhecimentos sobre equaes do 1 grau com uma incgnita e sobre sistemas de equaes do 1 grau com duas incgnitas, aplicando-os na resoluo de problemas. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<130> 
<R+>
1. Equaes do 1 grau com uma incgnita 
<R->

  Vamos, com exemplos, recordar a resoluo de equaes do 1 grau com uma incgnita, agora trabalhando no conjunto dos nmeros reais. 

_`[{o professor diz_`]
  "Lembre-se: uma equao  do 1 grau com uma incgnita (x) quando pode ser escrita na forma ax=b, com a e b reais e a=0."
 
Exemplo 1 
  Vamos determinar a soluo real da equao 7x-3=3x-2. 
<p>
<R+>
<F->
Adicionamos -3x a ambos os membros da equao (princpio aditivo da igualdade). 
7x-3x-3=-2 
Adicionamos 3 aos dois membros da igualdade. 
7x-3x=-2+3 
Usamos a propriedade distributiva e substitumos 7x-3x por 4x.
4x=-2+3 
Multiplicamos os dois membros da igualdade por #,d (princpio multiplicativo da igualdade), que equivale a dividir os dois membros por 4.
x=?-2+3*~4
<F+>
<R->

  Portanto, x=?3-2*~4  a soluo ou raiz dessa equao.
  Usando para 3 o valor aproximado 1,7, temos x^=-0,075
?1,7-2*~4=-0,3~4=-0,075.
<p>
Exemplo 2 
  Vamos resolver a equao 2x+5=2-32+3x+15 no conjunto _r. 
<R+>
<F->
2x+5=2-32+3x+15 
Eliminamos os parnteses usando a propriedade distributiva. 
2x+10=2-6-9x+15 
Adicionamos 9x e -10 a ambos os membros. 
2x+9x=2-6+15-10 
11x=17-16 
11x=1 
Dividimos ambos os membros por 11, o que equivale a multiplic-los por #,aa. 
x=#,aa 
<F+>
<R->

  Assim, x=#,aa  a soluo da equao.

<131>
Exemplo 3 
  Vamos obter a soluo real da equao ?x-1*~4-?2x+1*~2=
 =?2x-1*~8-1.
<R+>
<F->
?x-1*~4-?2x+1*~2=
  =?2x-1*~8-1
<p>
Reduzimos todos os termos ao mesmo denominador. 
?2x-1*~8-?42x+1*~8=
  =?2x-1*~8-#h 
Multiplicamos todos os termos por 8, eliminando os denominadores.
2x-1-42x+1=2x-1-8 
Daqui para a frente, o procedimento  anlogo ao da equao anterior. 
2x-2-8x-4=2x-1-8 
2x-8x-2x=-1-8+2+4 
-8x=-9+6 
-8x=-3 
-1 Multiplicamos ambos os membros por -1. 
8x=3 
x=#:h
<F+>
<R->

  Portanto, #:h  a soluo da equao.
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
1. Resolva as seguintes equaes do 1 grau com uma incgnita em _r: 
a) 3x+7=x-3   
b) 4x-1=3x+2 
c) 2x-1=7+x 
d) 3x+1+5=x+9 
e) 3-2x-1=3-2x-1 
f) 2x-1-2x-2=-x-3 
 
2. Determine a soluo real de cada uma das equaes: 
a) t~2-2~3=5t~6  
b) y~4+1=7-y~2 
c) ?x+1*~3-?x-1*~6=5~2+x 
d) ?x-2*~4+?x-3*~2=
  =?x-1*~3+x~6
e) ?2x-1*~3-?3x+
  +1*~2=?x+2*~6
f) 1~2-?x+1*~4=?3x-
  -1*~12-3

3. Determine o valor real de x para que a expresso ?x-1*~3-?x+1*~4 tenha valor numrico igual a 10. 
<p>
4. Para qual valor real de y a expresso y~2+?2y+1*~3  igual a -3? 
5. O dobro do permetro de um quadrado aumentado de 8 cm  igual a 40 cm. Qual  a medida do lado do quadrado? 
6. Num retngulo, o comprimento  3 cm maior do que a largura. Sabendo que seu permetro  de 26 cm, quanto medem a largura e o comprimento desse retngulo? 
<132>
7. Volte  pgina 377 na abertura deste captulo e resolva a situao usando a equao indicada. 
8. Num dia Rosngela gastou 20% do seu dinheiro numa loja, 30% no supermercado e 10% na farmcia. Ainda ficou com R$24,00. Quanto Rosngela possua inicialmente? 
9. Um nmero acrescido de 30% do seu valor d como resultado 195. Qual  o nmero? 
<p>
10. Beto gastou #:d do dinheiro que tinha e depois gastou R$25,00. Ficou com a quinta parte do que tinha no incio. Quanto ele tinha inicialmente? Quanto ele gastou? 
11. A rea de uma regio triangular  igual a 12 cm2. Sabendo que a medida da altura  de 3 cm, qual  a medida da base dessa regio triangular? 
12. A soma de trs nmeros inteiros consecutivos  204. Quais so esses nmeros? 
13. Gilberto vai repartir seus 200 CDs entre Vera, Leila e Janana. Vera vai receber 10 CDs a mais do que Leila, e Leila vai receber 20 CDs a mais do que Janana. Quantos CDs cada uma receber?  
14. Calcule as medidas de :?{a{o{b* e :?{a{o{c*. 
<p>
  a.A       C.a 
    o       o
      a.   .a
    3x a.a x+16
       .a a.
     .a O  a.
   o         o
 .aB        D a.

15. Calcule as medidas de :?{e{p{f* e :?{e{p{h*.

         
          oE 
           
            
        x~2 2x-70
  ::o::::::::e:::::o:::
    F        P    H

16. Que nmero diferente de zero  igual ao dobro dele mais o seu quadrado?  
<p>
17. Um pai tem 41 anos e seu filho tem 17. H quantos anos a idade do pai era igual a 9 vezes a idade do filho?  
18. A idade de um pai  o quntuplo da idade do filho. Daqui a 6 anos a idade do pai ser o triplo da idade do filho. Qual  a idade de cada um?   
19. Qual  a medida de um ngulo sabendo que a medida de seu complemento  igual a #,d da medida de seu suplemento? 

Desafios

1. Um veculo numa certa velocidade mdia percorre uma distncia em 5 horas. Se sua velocidade mdia fosse 10 km/h a mais do que a anterior, faria o mesmo percurso em 4 horas. Qual  a distncia percorrida?  
2. Invente um problema que seja resolvido pela equao 2x+3=23.  
<F+>
<R->

<133> 
<p>
<R+>
Equaes literais do 1 grau com uma incgnita 
<R->

  Observe as equaes de incgnita x: 

<R+>
ax+1=x; 2bx=8; x~2+m~3=
  =1; ax+3a=bx; ax=bx-c; mx+n=p 
<R->

  Elas contm outras letras alm da incgnita x. Tais letras representam nmeros reais conhecidos. A essas equaes damos o nome de equaes literais do 1 grau com uma incgnita. 
  Vejamos alguns exemplos de resoluo desse tipo de equao. 

<R+>
<F->
1) Vamos resolver a equao literal 3x+2m=x+6m, sendo x a incgnita. 

3x+2m=x+6m 
3x-x=6m-2m 
2x=4m 
x=4m~2=2m
<F+>
<R->
<p>  
  Portanto, 2m  a soluo da equao. 

<R+>
<F->
2) Vamos resolver a equao literal 2ax-4ax+b=3b+x, sendo x a incgnita. 
  
2ax-4ax+b=3b+x 
2ax-4ax-4b=3b+x 
2ax-4ax-x=3b+4b 
-2ax-x=7b 
-x2a+1=7b :o .-1 
x2a+1=-7b
x=-7b~?2a+1*, para 2a+1=0, ou seja, para a=-1~2  
<F+>
<R->

  Portanto, -7b~?2a+
 +1*a=-1~2  a soluo da equao.

<R+>
<F->
3) Vamos resolver a equao literal x~m-n=m-x~nm=0; n=0, sendo x a incgnita. 
  
x~m-n=m-x~n
?nx*~mn-?mn2*~mn=?m2n*~mn-
  -?mx*~mn
<p>
nx-mn2=m2n-mx
nx+mx=m2n+mn2
n+mx=m2n+mn2
x=?m2n+mn2*~?n+m*=mnm+
  n~n+m=mn, para n+m=0
<F+>
<R->
  
  Portanto, mn  a soluo da equao, para m=0, n=0 e n+m=0. 

Atividades 

<R+>
<F->
20. Resolva as seguintes equaes literais no caderno, sendo x a incgnita: 
a) ax-2x=a+2   
b) ax=3+bx  
c) x-a=x~aa=0  
d) x~a=1~?ab*-x~ba=0; b=0 
e) x~?a-b*=2-x~?a+b*a=b; a=-b 
f) ax~b=1~b+?bx-1*~aa=0; b=0
<p>
21. Qual  o valor de x que torna a expresso a2+bx igual  expresso ax-b2+2ab? 
22. Volte  pgina 378 na abertura deste captulo e resolva a segunda situao usando a equao literal 2x+2a=20, de incgnita x. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
2. Equaes do 1 grau com duas incgnitas 
<R->

  Voc j estudou equaes como estas: 
 
<R+>
x+y=10; x-y=3; x=5y+5; 3y=x+2 
<R->

  Elas so equaes do 1 grau com duas incgnitas, pois podem ser escritas, na forma geral, assim: 
 
ax+by=c, com a=0 e b=0
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "A equao  chamada do 1 grau porque na forma geral o expoente das incgnitas  1 (um): x=x1 e y=y1." 

  Por exemplo: 
<R+>
<F->
a) x+y=10 :> a=1, b=1 e c=10 
b) x-y=3 :> a=1, b=-1 e c=3 
c) x=5y+5 :> x-5y=5 :> a=1, b=-5 e c=5 
d) 3y=x+2 :> -x+3y=2 :> a=-1, b=3 e c=2 
<F+>
<R->

  Voc j viu tambm que as solues de uma equao do 1 grau com duas incgnitas so pares ordenados. Por exemplo, a equao x+y=10 tem como solues os pares ordenados 1,#i; 2,#h; #:b,#,=b; -1,#aa; 4,#f; etc.
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
23. No caderno, escreva para cada item 5 pares ordenados que sejam solues da equao correspondente: 
a) x-y=2 
b) 2x+y=12

24. Copie em seu caderno apenas os pares ordenados que so solues da equao 2x+3y=7. 
a) 2,#a 
b) 3#,b,#j 
c) 1,#c 
d) 5,-#a  
e) 1,#j  
f) 0,#=c  
g) -1,#c  
h) 1,#a
i) 3,#c
j) -2,#,,c
<F+>
<R->

<135>
<p>
<R+>
Como determinar solues de 
  equaes do 1 grau com duas 
  incgnitas 
<R->

  Para encontrar pares ordenados que so solues de equaes do 1 grau com duas incgnitas, atribumos qualquer valor a uma das incgnitas e encontramos o valor da outra. Examine o exemplo. 
  Vamos determinar quatro pares ordenados que sejam solues da equao 3x+2y=10. 

<R+>
<F->
Fazendo x=0: 
3.0+2y=10 
0+2y=10 
2y=10
y=#,}b 
 y=5 
<F+>
<R->
  Logo, o par ordenado 0,#e  uma soluo de 3x+2y=10.
<p>
<R+>
<F->
Fazendo x=3: 
3.3+2y=10 
9+2y=10 
2y=10-9 
2y=1
y=#,b
<F+>
<R->
  Outra soluo de 3x+2y=10  o par ordenado 3,#,b.

<R+>
<F->
Fazendo y=0: 
3x+2.0=10 
3x+0=10 
3x=10 
x=#,}c 
<F+>
<R->
  O par ordenado #,}c,#j  outra soluo de 3x+2y=10.

<R+>
<F->
Fazendo y=-1: 
3x+2.-1=10 
3x-2=10 
3x=10+2 
3x=12
x=#,;c
x=4 
<F+>
<R->
  O par ordenado 4,-#a  mais uma soluo de 3x+2y=10. 
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
25. Encontre mais trs solues para a equao 3x+2y=10.

26. Determine trs solues para cada equao:  
a) 7x-4y=14  
b) 2x~3+3y~4=1~6

27. Qual par ordenado , ao mesmo tempo, soluo da equao x+y=10 e da equao x-y=2? 

28. Em cada item, determine qual par ordenado , simultaneamente, soluo das duas equaes: 
a) x+y=12 e x-y=8
b) x+y=20 e x-y=10  
c) 2x+y=5 e x-y=-2  
d) x+2y=7 e x-y=1  
Compare suas respostas com as de um colega. 
<F+>
<R->

<136>
<p>
<R+>
Grfico das solues de uma 
  equao do 1 grau com duas 
  incgnitas 
<R->

  Vamos determinar algumas solues da equao 3x+y=1 e representar graficamente os pares ordenados obtidos em um sistema de eixos cartesianos. 
<R+>
<F->
 Para x=0, temos y=1 e o par ordenado 0,#a. 
 Para x=1, temos y=-2 e o par ordenado 1,-#b. 
 Para x=-1, temos y=4 e o par ordenado -1,#d. 
 Para x=#,c, temos y=0 e o par ordenado #,c,#j.
 Para x=-2, temos y=7 e o par ordenado -2,#g. 
<F+>
<R->

  Logo, 0,#a; 1,-#b; -1,#d; #,c,#j; e -2,#g so algumas solues da equao 3x+y=1.
  Observe no grfico _`[no adaptado_`] que os pontos que correspondem a esses pares ordenados 
<p>
 esto alinhados, ou seja, esto sobre uma mesma reta. 
  O que ocorreu neste exemplo os matemticos j provaram que ocorre com todas as equaes do 1 grau com duas incgnitas. Como x e y so nmeros reais, podemos escrever: 

<R+>
<F->
Os pontos correspondentes s solues de uma equao do 1 grau com duas incgnitas esto sobre uma mesma reta. 

Eixo y l
      a.l
        la.
        l  a.
        l    a.
        l      a.
      ::r::::::::,:::o Eixo x
        l          a.
        l            a.
        l              a.
        l              
<p>
Observao: Como bastam dois pontos para traar uma reta, precisamos apenas de duas solues de uma equao do 1 grau com duas incgnitas para traar a reta que contm todas as solues. 
<F+>
<R->
 
Atividades 

<R+>
<F->
_`[{para as atividades de 29 a 31, pea orientao ao professor_`]

29. Determine algumas solues da equao x-y=2. Coloque os pares ordenados num grfico e verifique em que posio ficaram. 

30. a) Determine cinco solues da equao x+2y=5. 
b) Marque os pontos correspondentes aos pares ordenados em um grfico. 
<p>
c) Trace a reta na qual esto esses pontos. 
d) O ponto correspondente ao par ordenado 13,-#d pertence a essa reta?  
e) O ponto correspondente ao par ordenado -3,#ab pertence a essa reta? 
 
31. a) Determine duas solues da equao 4x+2y=12.  
b) Trace o grfico das solues. 
c) O ponto 3,#j pertence ao grfico?  
d) O ponto 0,#d pertence ao grfico?  
e) O par ordenado 1,#d  soluo da equao?  
f) O par ordenado -17,#dj  soluo da equao?  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<137>
<p> 
<R+>
3. Sistemas de duas equaes do 
  1 grau com duas incgnitas 
<R->

  Voc conhece este problema tradicional? 
  Num quintal h galinhas e coelhos. H 7 cabeas e 22 pernas. Quantas so as galinhas? E os coelhos? 
  H vrias maneiras de resolver esse problema. Observe o que cada aluno fez. 
  Jorge fez por tentativas e erros: 

_`[{jorge diz_`]
  "2 galinhas e 5 coelhos :> 7 cabeas 2+5
  22=4 e 54=20 
 :> 4+20=24 pernas (no)
  3 galinhas e 4 coelhos :> 7 cabeas 3+4
  32=6 e 44=16 
 :> 6+16=22 pernas (sim)"

  Paula construiu uma tabela organizada: 
<p>
<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada_`]
1 coluna: Galinhas
2 coluna: Coelhos
3 coluna: Cabeas
4 coluna: Pernas
<F+>
<R->

<F->
!::::::::::::::::::::
l 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::
l 6  _ 1  _ 7  _ 16 _ no _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 5  _ 2  _ 7  _ 18 _ no _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 4  _ 3  _ 7  _ 20 _ no _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 3  _ 4  _ 7  _ 22 _ sim _ 
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 2  _ 5  _ 7  _ 24 _ no _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 1  _ 6  _ 7  _ 26 _ no _
h:::::j:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>
<p>
  Carlos usou um sistema de equaes: 

_`[{carlos diz_`]
  "Montei um sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas (x e y)."

<R+>
<F->
x: nmero de galinhas 
y: nmero de coelhos 
x+y=7 (So 7 cabeas, ou seja, 7 animais ao todo.) 
Cada galinha tem duas pernas: 2x. 
Cada coelho tem 4 pernas: 4y. 
Ento, 2x+4y=22 (total de pernas). 
As duas equaes tm que ser satisfeitas ao mesmo tempo: 
x+y=7 e 2x+4y=22 ou 
x+y=7; 2x+4y=22 
x=3 e y=4
<F+>
<R->

  Quando os nmeros so grandes, o procedimento de Carlos  mais prtico e mais eficiente. 
<p>
  Voc vai agora recordar e aprofundar o que j estudou no 7 ano sobre os sistemas de equaes do 1 grau com duas incgnitas e resolver problemas com eles. 

<138>
<R+>
Solues de um sistema de duas 
  equaes do 1 grau com duas 
  incgnitas 
<R->

  Ao equacionar o problema sobre galinhas e coelhos, Carlos chegou a duas equaes do 1 grau com duas incgnitas (as mesmas para as duas equaes). Por isso, ele montou um sistema de equaes. 
 
x+y=7 e 2x+4y=22 

<R+>
Soluo de um sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas  um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as duas equaes. 
<R->
<p>
  Na situao anterior, temos: 
<R+>
<F->
 Solues da equao x+y=7 
  :> 1,#f; 2,#e; 3,#d; 4,#c; 5,#b; 6,#a; etc. 
 Solues da equao 2x+4y=
  =22 :> 1,#e; 3,#d; 5,#c; 7,#b; 9,#a; etc. 
<F+>
<R->

  O par ordenado 3,#d  a soluo do sistema, pois  o nico par ordenado que  soluo, ao mesmo tempo, das duas equaes. 

<R+>
<F->
Sistema: x+y=7 e 2x+4y=22 
Verificao: 3+4=7 e 2.3+4.4=6+16=22 
<F+>
<R->

  Grfica ou geometricamente a soluo de um sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas  o ponto de interseco das duas retas correspondentes s duas equaes: 
  Observe o grfico _`[no adaptado_`], que mostra a soluo do sistema x+y=7 e 2x+4y=22: 
<p>
<F->
!:::::::::
l x+y=7  _
r::::::::w
l x  _ y  _
r::::w::::w
l 0 _ 7 _
r::::w::::w
l 7 _ 0 _
h::::j::::j

Pares ordenados: 0,#g; 7,#j

!:::::::::::::
l 2x+4y=22 _
r::::::::::::w
l x    _ y    _
r::::::w::::::w
l 1   _ 5   _
r::::::w::::::w
l 5   _ 3   _
h::::::j::::::j

Pares ordenados: 1,#e; 5,#c
<F+>

<139>
<p> 
<R+>
Soluo de um sistema usando 
  clculo mental 
<R->

  Alguns sistemas voc consegue resolver mentalmente. Por exemplo, para resolver mentalmente o sistema x+y=9 e x-y=1 basta pensar em dois nmeros cuja soma  9 e cuja diferena  1. So o 5 e o 4. 
  Assim, a soluo do sistema  o par ordenado 5,#d. 

Atividades

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 32 e 34, pea orientao ao professor_`]

32. Considere o sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas: x+y=10 e x+2y=16 
a) Determine alguns pares ordenados que sejam solues da equao x+y=10. 
b) Determine alguns pares ordenados que sejam solues da equao x+2y=16. 
<p>
c) Qual par ordenado , ao mesmo tempo, soluo das duas equaes?  
d) Qual  a soluo do sistema?  
e) Construa o grfico correspondente e indique nele a soluo do sistema. 

33. Determine mentalmente as solues dos sistemas e registre em seu caderno. 
a) x+y=12 e x-y=2 
b) x+y=16 e x-y=4
c) x=2y e x+y=12 
d) x+y=5 e x+3y=11
e) x+y=3 e x-y=-1 
f) y=3x e x-y=-6 
g) x+y=20 e x-y=0
h) x=5y e x-y=12
i) x+y=-3 e x-y=1

34. Construa as duas retas e encontre graficamente a soluo de cada um dos sistemas: 
a) x+y=7 e 2x-y=-1
b) x+2y=5 e 2x+y=-2
<p>
35. Dos pares ordenados a seguir, qual  a soluo do sistema 2x+5y=-14 e 4x-3y=24? 
a) 2,#a 
b) -3,#d  
c) 3,-#d 
d) -3,-#d 
Compare sua resposta com a de um colega e vejam como cada um pensou. 

36. Invente um sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas cuja soluo  o par ordenado 1,#b.  
<F+>
<R->
 
<140>
<R+>
Mtodos de resoluo de um 
  sistema de duas equaes do 
  1 grau com duas incgnitas 
<R->

  Nem sempre podemos resolver mentalmente um sistema de equaes. Por isso foram desenvolvidos alguns mtodos de resoluo. A seguir vamos retomar o mtodo da substituio, que voc viu no 7 ano, e conhecer o mtodo da 
<p>
 adio. Eles so exemplos de processos algbricos de resoluo.

Mtodo da substituio 

  Considere a situao: 
  A soma das idades de Janana e Marisa  55 anos. 
  A idade de Janana mais o dobro da idade de Marisa d 85 anos. 
  Qual  a idade de cada uma? 

<R+>
<F->
1) Representamos: 
 idade de Janana: x 
 idade de Marisa: y 
2) Montamos o sistema a partir das informaes do problema: x+y=55 e x+2y=85 
3) Resolvemos o sistema pelo mtodo da substituio: 
 Isolamos no 1 membro uma das incgnitas em uma das equaes. Por exemplo, o x na 1 equao: 
  x+y=55 
  x=55-y 
<p>
 Na outra equao, substitumos x por 55-y e determinamos o valor de y: 
  x+2y=85 
  55-y+2y=85 
  -y+2y=85-55 
  y=30
 Voltamos a x=55-y, substitumos y por 30 e determinamos o valor de x: 
  x=55-y e y=30 
  x=55-30 
  x=25 
<F+>
<R->

  A soluo do sistema  o par ordenado 25,#cj. 
  Logo, Janana tem 25 anos e Marisa tem 30 anos. 
  Verificando: 
  A soma das idades :> 25+30=55 anos 
  A idade de Janana mais o dobro de idade de Marisa :> 25+60=85 anos 

<141> 
<p>
  Examine agora mais alguns exemplos de resoluo de sistemas pelo mtodo da substituio. 

<R+>
<F->
Exemplo 1 
3x+4y=1 e 2x-5y=16 
3x+4y=1  
3x=1-4y 
x=?1-4y*~3
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Nesta etapa da resoluo  bom escolher a equao e a incgnita mais convenientes."
 
<R+>
<F->
2x-5y=16 
2?1-4y*~3-5y=16
?2-8y*~3-5y=16
?2-8y*~3-15y~3=48~3
2-8y-15y=48 
-8y-15y=48-2 
-23y=46 :o .-1 
23y=-46  
y=-46~23 
y=-2 
<p>
x=?1-4y*~3 e y=-2 
x=?1-4*-2*~3 
x=?1+8*~3 
x=9~3 
x=3 
<F+>
<R->

  A soluo do sistema  o par ordenado 3,-#b. 

<R+>
<F->
Exemplo 2 
3x-1+4y-3=4 e x~3+y~6=1 
<F+>
<R->

  Neste exemplo,  conveniente transformar inicialmente as equaes para a forma ax+by=c. 

<R+>
<F->
1 equao: 
3x-1+4y-3=4 
3x-3+4y-12=4 
3x+4y=4+3+12 
3x+4y=19 

2 equao: 
x~3+y~6=1
2x~6+y~6=6~6 
2x+y=6
<F+>
<R->
<p>
  Agora, podemos resolver o sistema 3x+4y=19 e 2x+y=6, que  equivalente ao primeiro.
  Neste caso,  mais fcil comear obtendo o valor de y na segunda equao: 
 
<R+>
<F->
2x+y=6 
y=6-2x

3x+4y=19  
3x+46-2x=19
3x+24-8x=19 
3x-8x=19-24 
-5x=-5 :o .-1 
5x=5 
x=5~5 
x=1

y=6-2x e x=1 
y=6-2.1 
y=6-2 
y=4 
<F+>
<R->

  A soluo do sistema  o par ordenado 1,#d. 

<142> 
<p>
<R+>
<F->
Exemplo 3
?x+y*~4-?x-y*~3=10 e ?x+y*~8+?x-y*~6=5
<F+>
<R->

  Inicialmente preparamos o sistema, transformando cada uma das suas equaes numa equao da forma ax+by=c: 

<R+>
<F->
1 equao: 
?x+y*~4-?x-y*~3=10  
?3x+y*~12-?4x-y*~12=
  =120~12 
3x+y-4x-y=120 
3x+3y-4x+4y=120 
-x+7y=120 

2 equao: 
?x+y*~8+?x-y*~6=5 
?3x+y*~24+?4x-y*~24=
  =120~24 
3x+3y+4x-4y=120 
7x-y=120 
<F+>
<R->

  Agora, resolvemos o sistema -x+7y=120 e 7x-y=120, formado 
<p>
 com as equaes obtidas, que  equivalente ao primeiro: 

<R+>
<F->
-x+7y=120 
-x=120-7y  .-1 
x=7y-120 

7x-y=120  
77y-120-y=120 
49y-840-y=120 
49y-y=120+840 
48y=960 
y=960~48 
y=20 

x=7y-120 e y=20 
x=7.20-120 
x=140-120 
x=20 
<F+>
<R->

  A soluo do sistema  o par ordenado 20,#bj. 
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
37. Carlos estava resolvendo um sistema pelo mtodo da substituio quando interrompeu seu trabalho. Ajude-o a retomar seu estudo e a encontrar a soluo desse sistema. 
 
2x+y=10 e 3x-2y=1 

2x+y=10 :o y=10-2x
3x-2y=1 :o 3x-210-2x=1
<F+>
<R->

<143> 
<R+>
<F->
38. Determine a soluo de cada um dos seguintes sistemas de equaes pelo mtodo da substituio: 
a) x+y=9 e x-2y=-9 
b) 5x+y=-1 e 3x+4y=13
c) x~3+y~2=11~3 e x+y=8  
d) x+y~2=12 e ?x+y*~2+?x-y*~3=10
e) 2x-3+y=-15 e x~4=?x+y*~6+2~3
f) 2x-5=y-4 e 7x-y=y+3 
<p>
39. Pratique a resoluo de sistemas pelo mtodo da substituio nas seguintes situaes: 
a) A diferena entre dois nmeros reais  7. Sabe-se tambm que a soma do dobro do primeiro com o qudruplo do segundo  11. Quais so esses nmeros? 
b) Josias comprou 5 canetas e 3 lpis e gastou R$21,10. Mariana comprou 3 canetas e 2 lpis e gastou R$12,90. Fernando comprou 2 canetas e 5 lpis. Quanto ele gastou?  
c) Em um retngulo o permetro  de 44 cm e a diferena entre a metade da medida do comprimento e a quarta parte da medida da largura  5 cm. Descubra a rea da regio retangular correspondente.  
d) A soma de dois nmeros  127 e a diferena entre eles  49. Quais so esses nmeros?  
<F+>
<R->
<p> 
Mtodo da adio 

  Vejamos inicialmente trs importantes propriedades que sero utilizadas na resoluo de sistemas pelo mtodo de adio. 

<R+>
<F->
1) Quando adicionamos os membros correspondentes de duas igualdades, obtemos uma nova igualdade.

2+3=5
7-3=4
9=9

3+7=10
4+5=9
7+12=19

x+3=5
x+1=3
2x+4=8

x+3y=5
-x+y=-1
4y=4
<p>
2) Quando multiplicamos os dois membros de uma igualdade pelo mesmo nmero, obtemos uma nova igualdade (princpio multiplicativo da igualdade). 

3+5=8                                      
2.3+5=2.8                     
6+10=16                               

9-1=8 
9-1.10=8.10
90-10=80 

3+4=8-1 
5.3+4=5.8-1
15+20=40-5 

12=5+7 
-1.12=-1.5+7
-12=-5-7 

<144>
<p>
3) A adio de dois nmeros opostos d sempre zero. 

-3+3=0;
+5-5=0; 
+4x-4x=0;
-y++y=0
<F+>
<R->

  Examine a seguinte situao: Quando Ricardo nasceu, seu pai tinha 23 anos. Hoje, a soma das idades de Ricardo e de seu pai  59. Qual  a idade atual de cada um? 
  Representando por: 
<R+>
<F->
 x a idade atual do pai 
 y a idade atual do Ricardo 
escrevemos o sistema: x+y=59 e x-y=23
<F+>
<R->

  Vamos usar o mtodo da adio para encontrar a soluo desse sistema. 
  Somamos membro a membro: 
<R+>
<F->
x+y+x-y=59+23
2x=82 
x=82~2
x=41 :> idade do pai
<F+>
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "+y e -y so nmeros opostos. Quando somamos membro a membro, +y -y d zero e $"eliminamos$" uma incgnita (y). Com a equao obtida descobrimos o valor da outra incgnita (x)."

  Substituindo x por 41 em uma das equaes do sistema, obtemos o valor de y: 
<R+>
<F->
x+y=59 e x=41 
41+y=59 
y=59-41 
y=18 :> idade do Ricardo 
<F+>
<R->

  Portanto, Ricardo tem hoje 18 anos e seu pai tem 41 anos. 
  Observe agora os sistemas a seguir. Neles no temos nmeros opostos. Por isso, se somarmos membro a membro, nenhuma incgnita ser eliminada. 
<R+>
<F->
1) 3x+2y=8 e 3x+5y=2
2) 5x-4y=6 e 3x+2y=8
3) 3x-5y=6 e 2x-6y=3 
<F+>
<R->
<p>
  Para resolv-los pelo mtodo da adio devemos utilizar algumas estratgias. Veja a seguir. 
<145> 
<R+>
 No primeiro sistema temos +3x nas duas equaes. Basta multiplicar os dois membros de uma delas por -1 e ficaremos com +3x em uma delas e -3x na outra. O restante da resoluo voc j viu. 
<R->

<R+>
<F->
3x+2y=8 e 3x+5y=2 
 
-3x-2y+3x+5y=-8+2
+3y=-6
y=-6~3
y=-2

3x+2y=8 e y=-2
3x+2.-2=8
3x-4=8
3x=8+4
3x=12
x=12~3=4
<F+>
<R->
 
  Logo, o par ordenado 4,-#b  a soluo do sistema 3x+2y=8 e 3x+5y=2.
<p>
<R+>
<F->
 No segundo sistema temos -4y e +2y. Como 4  mltiplo de 2, basta multiplicar os dois termos da segunda equao por 2 e ficaremos com -4y e +4y. Veja: 
 
5x-4y=6 e 3x+2y=8
 
5x-4y+6x+4y=6+16 
11x=22 
x=22~11 
x=2 

3x+2y=8 e x=2 
3.2+2y=8 
6+2y=8 
2y=8-6 
2y=2 
y=2~2=1
<F+>
<R->
 
  A soluo de 5x-4y=6 e 3x+2y=8  o par ordenado 2,#a.
<p> 
<R+>
<F->
 No terceiro sistema temos que multiplicar os dois membros nas duas equaes para obter nmeros opostos (procure descobrir por qu): 
 
3x-5y=6 :o .2 
2x-7y=15 :o .-3
 
6x-10y-6x+21y=12-45  
+11y=-33 
y=-33~11
y=-3 

3x-5y=6 e y=-3 
3x+15=6 
3x=6-15 
3x=-9 
x=-9~3=-3
<F+>
<R->

  O par ordenado -3,-#c  a soluo do sistema 3x-5y=6 e 2x-7y=15. 

<146>
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
40. Resolva estes sistemas pelo mtodo da adio. 
a) 3x-2y=10 e 5x+2y=22 
b) 2x+3y=-5 e 5x-6y=28 
c) 7x+3y=1 e 5x+3y=-1 
d) 2x-3y=7 e 5x-4y=7
e) 4x-y=8 e 2x+3y=4
f) 3x-2y=14 e 2x-3y=6
g) 3x-2y=2 e 5x+6y=8
h) ?x+y*~8=?x+y*~3 e 5x~3=-2y-1

41. No caderno, escreva o nmero 51 como uma soma de duas parcelas de modo que a diferena entre elas seja 5. 
42. Descubra os valores apagados no sistema que o professor escreveu na lousa, sabendo que a sua soluo  -1,-#b.

3x-...y=1 e ...x-3y=1
<p>
43. Para criar um sistema com soluo 5,#d, Jos fez assim: primeiro escreveu parte de duas equaes, como indicado a seguir. Depois, completou as equaes, obtendo o sistema. 

3x-2y=... e y+4y=... 
 
Agora, no caderno, copie e complete o sistema criado por Jos. 
44. Invente um sistema de equaes cuja soluo seja 10,#g. Troque com um colega. Para conferir, voc resolve o dele e ele resolve o seu. 
45. Volte  pgina 378 na abertura deste captulo e resolva a terceira situao usando o sistema de equaes indicado.  

46. Resolva os sistemas de equaes a seguir utilizando o mtodo que considerar mais conveniente. 
<p>
a) 2x-3y=0 e 4x+3y=3 
b) x-1~3y=3 e 1~4x+2y=7
c) x~5+y~3=2~15 e 2x-3+3y-2=-12
<F+>
<R->

Desafio
 
  Resolva a situao a seguir de duas maneiras: usando uma equao com uma incgnita e usando sistema de duas equaes com duas incgnitas. 
  Num concurso, a prova constava de 80 testes. Todos os testes deveriam ser respondidos. Cada resposta certa valia +3 pontos e cada resposta errada valia -2 pontos. Se um candidato fez 155 pontos, quantos testes ele acertou e quantos ele errou? 

<147>
<p>
<R+>
Classificao de um sistema de 
  duas equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas, quanto ao 
  nmero de solues 
<R->

  Vamos analisar algumas situaes que nos levaro aos vrios tipos de sistemas. 

Exemplo 1 
  Antnio comprou tela de arame para cercar um terreno de formato retangular. Gastou 48 m para cerc-lo e o fez de tal forma que o comprimento resultou no triplo da largura. Quais so as dimenses desse terreno? 
  Para resolver essa situao, podemos represent-la por meio de um sistema de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas: 
 
<R+>
<F->
2x+2y=48 e y=3x
x+y=24 e y=3x
<p>
        y
  !::::::::::
x l          _
  h::::::::::j
<F+>
<R->

  Esse sistema pode ser resolvido utilizando-se um dos mtodos algbricos ou o mtodo grfico. Vamos faz-lo das duas maneiras. 

 Mtodo algbrico 
  Vamos usar o mtodo da substituio: x+y=24 e y=3x 
  Substituindo y por 3x na primeira equao, podemos obter o valor de x. Depois, com esse valor obtemos y usando a segunda equao: 
 
<R+>
<F->
x+y=24 
x+3x=24 
4x=24
x=6

y=3x 
y=3.6 
y=18
<F+>
<R->
<p>
  O par ordenado 6,#ah , portanto, a soluo do sistema. 
  
 Mtodo grfico 
  Vamos fazer duas tabelas, uma para cada equao: 

<F->
   x+y=24
!:::::::::::
l x   _ y   _
r:::::w:::::w
l 12 _ 12 _
r:::::w:::::w
l 10 _ 14 _
h:::::j:::::j 
<F+>

<F->
   y=3x
!:::::::::
l x  _ y  _
r::::w::::w
l 0 _ 0 _
r::::w::::w
l 3 _ 9 _
h::::j::::j
<F+>

  Representando os pares ordenados no plano cartesiano, temos o grfico _`[no adaptado_`].
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Como voc j sabe, o ponto de interseco das retas corresponde  soluo do sistema."

  O par ordenado 6,#ah , portanto, a soluo do sistema (ponto comum s duas retas). 
<148>
  Assim, o terreno de Antnio tem 6 m por 18 m, pois o permetro  de 48 m e o comprimento  o triplo da largura. 
  Dizemos que o sistema 2x+2y=48 e y=3x  possvel e determinado, pois tem uma nica soluo.
  Nesse caso, as retas que representam as equaes so retas concorrentes, ou seja, retas que se intersectam num nico ponto, que  a soluo do sistema. 
<p> 
Exemplo 2 
  Vamos analisar agora o sistema: x+y=5 e 2x+2y=6 

<R+>
<F->
 Mtodo algbrico 
x+y=5 :o x=5-y 
2x+2y=6 :o 25-y+2y=6 
  :o 10-2y+2y=6 :o 10=6 (sentena falsa) 
<F+>
<R->

  Quando isso ocorre dizemos que no existe soluo para o sistema ou que o sistema  impossvel. 

<R+>
<F->
 Mtodo grfico

_`[{grfico no adaptado_`]
 
!:::::::::
l  x+y=5 _
r::::::::w
l x  _ y  _
r::::w::::w
l 0 _ 5 _
r::::w::::w
l 5 _ 0 _
h::::j::::j
<p>
!:::::::::::::
l 2x+2y=6  _
r::::::::::::w
l x    _ y    _
r::::::w::::::w
l 0   _ 3   _
r::::::w::::::w
l 3   _ 0   _
h::::::j::::::j
<F+>
<R->

  Quando o sistema  impossvel, as retas que representam cada uma das equaes so retas distintas e paralelas (no tm ponto comum). 

Exemplo 3
  Vamos resolver agora o sistema: x+2y=5 e 2x+4y=10

<R+>
<F->
 Mtodo algbrico
x+2y=5 e 2x+4y=10
-2x-4y+2x+4y=-10+10
0x+0y=0
<F+>
<R->
<p>
  Note que qualquer par de nmeros reais (x,y) satisfaz a equao 0x+0y=0. H, portanto, infinitas solues.
  Nesse caso, dizemos que o sistema  possvel e indeterminado ou apenas que o sistema  indeterminado.

<R+>
<F->
 Mtodo grfico

_`[{grfico no adaptado_`]

!:::::::::::::
l  x+2y=5   _
r::::::::::::w
l x    _ y    _
r::::::w::::::w
l 5   _ 0   _
r::::::w::::::w
l 1   _ 2   _
h::::::j::::::j
<p>
!:::::::::::::
l 2x+4y=10 _
r::::::::::::w
l x    _ y    _
r::::::w::::::w
l 5   _ 0   _
r::::::w::::::w
l 1   _ 2   _
h::::::j::::::j
<F+>
<R->

  x+2y=5 e 2x+4y=10 :o equaes equivalentes (basta verificar que a 2 equao  a 1 com os dois membros multiplicados por 2)
  Quando o sistema  indeterminado, as retas que representam as equaes so retas coincidentes. 

<149>
Atividades  

<R+>
<F->
47. Classifique cada um dos sistemas a seguir em determinado, indeterminado ou impossvel. 
<p> 
a) x-2y=3 e 3x-6y=9 
b) 3x-2y=1 e 6x-4y=3
c) x-2y=3 e x+2y=7
d) 2x-y=5 e -2x+y=-5
e) x-2y=3 e x-2y=5
f) 5x+2y=5 e 3x+y=1

48. Classifique, quanto ao nmero de solues (determinado, indeterminado ou impossvel), cada sistema representado pelos grficos _`[no adaptados_`].
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Leitura 

Um pouco da histria das equaes 

  A palavra equao  relativamente recente na linguagem matemtica, tendo surgido possivelmente no sculo XVII. Apesar disso, o conceito de equao tem estado 
<p>
 presente em grande parte dos problemas propostos ao longo dos 
 tempos. Para a resoluo desses problemas houve sempre um esforo em procurar esquematiz-los, de forma a obter mais facilmente suas solues. 
  As equaes so classificadas de acordo com o grau da incgnita. Assim, temos as equaes do 1 grau ou lineares, equaes do 2 grau ou quadrticas, equaes do 3 grau ou cbicas, equaes do 4 grau ou qurticas, etc. 
  A histria das equaes, assim como de toda a Matemtica e das cincias em geral,  resultado do esforo de vrias pessoas em diferentes pocas e lugares. Desde os tempos dos faras egpcios at os dias de hoje, o objetivo principal da lgebra  permitir a soluo de problemas matemticos que envolvam nmeros desconhecidos. Por exemplo, para resolver equaes, os 
<p>
 antigos egpcios usavam uma regra que ficou conhecida como regra da falsa posio; os antigos gregos, 
 usando uma lgebra geomtrica, construram solues para as equaes quadrticas; na obra do rabe Al-Khwarizmi (sculo IX) aparecem pela primeira vez, de forma clara e bem explicada, regras para resolver equaes, com solues simples e diretas para as equaes do 1 e 2 graus; nos sculos XVI e XVII, a soluo de equaes foi grandemente simplificada com o desenvolvimento dos smbolos das operaes aritmticas e da notao algbrica. Desde ento, novas contribuies foram surgindo, tornando cada vez mais rica e interessante a histria da Matemtica. 

               ::::::::::::::::::::::::

<150>
<p>
<R+>
4. Resoluo de problemas 
  envolvendo sistemas de equaes 
<R->

  Voc utilizou sistemas de equaes para encontrar a soluo de 
 vrios problemas. Vejamos agora mais algumas situaes. 

Atividades  

<R+>
49. Uma herana de R$50.000,00 foi deixada para dois irmos. No testamento, ficou estabelecido que o filho mais novo deveria receber R$18.000,00 a mais do que o irmo. Qual  a parte que cabe a cada um? 

50. Leia o que afirmaram Sofia, Jorge e Maria sobre compras de cadernos e canetas do mesmo tipo em uma papelaria: 
<R->

_`[{sofia diz_`]
  "Comprei dois cadernos e uma caneta e paguei R$14,00."
<p>
_`[{jorge diz_`]
  "Ento cada caderno custa R$5,00 e cada caneta custa R$4,00."

_`[{maria diz_`]
  "Eu comprei um caderno e duas canetas e paguei R$10,00."

<R+>
<F->
a) No caderno, escreva um sistema correspondente s duas primeiras afirmaes. 
b) Ser que a afirmao de Jorge est correta?  
c) Descubra o preo de cada caderno e de cada caneta.  

51. Camila e seu gato Tico pesam juntos 32 kg. Camila pesa 7 vezes o peso de Tico. Quanto cada um pesa? 
52. A soma de dois nmeros  62. A diferena entre eles  8. Quais so esses nmeros? 
<p>
53. Sandra comprou um conjunto de cala e blusa. Pela cala, pagou o dobro do preo que pagou pela blusa. Deu em pagamento uma nota de R$50,00 e duas de R$10,00, recebendo de troco uma nota de R$5,00 e duas no-
  tas de R$1,00. Quanto custou cada pea de roupa comprada por Sandra?  
54. Fui ao banco e retirei R$270,00 para pagar o aluguel. Ao todo, o caixa me deu 11 notas, entre notas de R$10,00 e R$50,00. Quantas notas de R$10,00 ele me deu? O caixa poderia ter me dado uma nota de R$50,00 a mais? Qual seria ento o nmero de notas de R$50,00 e de R$10,00? 
55. Lus comprou um livro e um CD para seu neto e pagou R$35,00. Roberto comprou dois livros e um CD do mesmo tipo e pagou R$55,00. Qual  o preo do CD? E do livro? 
<151>
<p>
56. Ana e Marcelo economizaram suas mesadas para comprar um presente para o pai deles. Juntando a quantia dos dois, d para comprar um tnis que custa R$55,00 e no sobra troco. A quantia que Ana tem ultrapassa em R$21,00 a quantia de Marcelo. Quantos reais tem cada um? 
57. Joca criava 75 animais em sua fazenda, entre cabras e marrecos. Quando um visitante perguntava quantos animais de cada espcie ele tinha, Joca respondia: Na ltima contagem, havia registrado 210 patas.... Mostre como decifrar a charada de Joca usando um sistema de equaes e calcule o nmero de cabras e de marrecos que Joca criava. 
58. Em um tringulo issceles, o permetro  de 15 cm. Sabe-se que um dos lados tem a metade da 
  medida de cada um dos outros 
  dois. Quanto medem os lados 
<p>
  desse tringulo? Desenhe-o em seu caderno.
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
59. Determine o comprimento (c) e a largura (l) de um retngulo ureo cujo permetro  26 cm. 

60. Beto fez uma prova de Matemtica com o seguinte sistema de avaliao: em cada questo certa o aluno ganha 5 pontos e em cada questo errada so descontados 3 pontos. Na prova com 10 questes, a pontuao de Beto foi de 26 pontos.  
a) Quantas questes Beto acertou? Quantas ele errou? 
b) Qual foi a pontuao mxima dessa prova?  
c) Qual seria a pontuao de Beto se ele acertasse 5 questes e errasse 5? 
<p>
61. Luciana e Carol gostam muito de suas colees de papis de carta. Trocam, destrocam e a coleo vai sempre aumentando e diversificando. E conversam o tempo todo. Leia o dilogo das duas. 
<F+>
<R->

_`[{luciana diz_`]
  "Voc me d 5 de seus papis de carta e assim ficamos com a mesma quantidade."

_`[{carol diz_`]
  "Nada disso! Voc me d 5 e a minha quantidade ser o triplo da sua." 

<R+>
<F->
Descubra quantos papis de carta tem cada uma.

62. Uma frao  equivalente a #f. Diminuindo 1 no seu numerador e aumentando 2 no seu denominador, obtm-se uma nova frao, equivalente a #:e. Quais so as duas fraes citadas no problema? 
<p>
63. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<152> 
Reviso cumulativa
 
<R+>
<F->
1. A soma de trs nmeros pares consecutivos  igual a 132. Quais so esses nmeros? 

2. Determine a soluo de cada uma das equaes: 
a) ?t+2*~4-?t-2*~6=2~3+t 
b) 1~5-?2x+1*~2=?2x+
  +3*~10-x 

3. Considerando 2^=1,41 e 3^=1,73, determine a soluo aproximada, com duas casas decimais, de cada equao. 
a) 3x=2x+22 
b) 8x-2=7x+3 
<p>
4. Uma formiga fez o percurso: 
A :> B :> C :> A, com A-4,#c, B1,-#b, C4,#a. Esse percurso tem a forma de um tringulo escaleno e retngulo. 
J um besouro fez D :> E :> F :> D, com D3,#b, E-2,#c e F4,-#c. 

_`[{figura no adaptada_`]

a) Desenhe em papel quadriculado o percurso do besouro e escreva o tipo de figura correspondente. 
b) Invente um percurso G :> H :> I :> G para uma aranha de modo que esse percurso determine um tringulo retngulo e issceles. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
5. Considerando x a incgnita, resolva as seguintes equaes literais: 
a) x~2a=?b+4a*~4ab-2x~b a=0 e b=0 
b) x~2a=?x+a*~3 a=0  

6. Observe a capacidade de cada vasilha e responda: Para encher a vasilha A, quantas vasilhas B so necessrias? 

_`[{figuras adaptadas_`]
Vasilha A: 2#:d L
Vasilha B: #,b L

7. Copie os sistemas de equaes, resolva-os mentalmente e registre as suas solues: 
a) x+y=8 e x-y=2 
b) x+y=20 e x-y=8  

8. Considerando o sistema 3a-2b=20 e a+5b=1, qual  o valor de 2a+3b? 
<p>
9. A expresso x+8x-2-
  -x-42  equivalente a 27x-16, -14x, -2x ou 
  2x2-x? 

10. Resolvendo a equao 32x-4=2x-5, obtemos 
  para x um valor que satisfaz a qual dos itens a seguir?  
a) x<=-1 
b) -1<x<=0
c) 0<x<=1 
d) x>1 

11. Na escola de Raul h aula em trs perodos: manh, tarde e noite. Com base nos dados que aparecem no grfico, descubra quantos alunos frequentam cada um dos perodos e o nmero total de alunos na escola. Em seguida, copie o grfico em seu caderno e complete-o, indicando tambm os alunos do perodo da noite. 
<p>
_`[{grfico adaptado_`]
Perodo: Manh -- ''' alunos
Porcentagem: 35%
Perodo: Tarde -- 480 alunos
Porcentagem: 40%
Perodo: Noite -- ''' alunos
Porcentagem: '''
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
12. Calcule e depois confira com uma calculadora: Que nmero aparecer no visor digitando 256y y y? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<153>
Para ler, pensar e divertir-se 

Ler 

Uma equao egpcia 

  Na figura _`[no adaptada_`] podemos observar uma equao escrita 
<p>
 por um matemtico egpcio 30 sculos antes de Cristo. 
  Os hierglifos indicam (aproximadamente) o problema: 
  -- Qual  o nmero cuja metade mais a tera parte  igual a 5? 
   uma equao do tempo dos faras. Escreva a equao e resolva-a. 

Pensar 

<R+>
<F->
1. J e Cleo pesam, juntas, o mesmo que Leo.  
J e Teo pesam, juntos, o mesmo que Cleo. 
Dois Leos pesam o mesmo que trs Teos. 
Seis Cleos pesam o mesmo que quantos Leos? 
<F+>
<R->

2.  lgico!  
  Copie em seu caderno e complete logicamente estas sentenas: Nenhum tringulo  quadriltero. 
  Algum polgono  tringulo. 
  Portanto, ...  
<p>
Divertir-se 

<R+>
Quadrado de nmeros terminados 
  em 5 
<R->

  Para elevar 45 ao quadrado, devemos efetuar um produto: 452=4545. 
  Mas, como esta conta  trabalhosa, podemos fazer o seguinte: 
<R+>
<F->
 Decompomos 45 na adio 20+25. 
 Escrevemos ento uma parcela seguida da outra: 20#be. 
 Obtemos assim o produto 2.025, que  o quadrado de 45. 
<F+>
<R->
  O clculo foi bem simples, no foi? Mas... ser que vale sempre? Tente com o 75. 
 
<R+>
(*As maravilhas da Matemtica*. Malba Tahan. So Paulo: Edies Bloch, 1987.)
<R->
<p>  
  Descubra qual  o outro nmero terminado em 5, entre 30 e 100, para o qual acontece o mesmo.

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo          

Fim da Quarta Parte
